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2008.05/17(Sat)

漸化式やっぞぉ~!

何某君が数学を教えて欲しいと言ってたんで、

漸化式のパターン別の解き方を実際に問題を解きながら覚えようという魂胆なわけで

早速やっていこー♪

読むだけより書いた方がいいかもねb

 

 

 

a1=2 , an+1=an+3   …①

 

数列{an}は,初項a1=2 , 公差3の等差数列だから,

an=2+3(n-1)

  =3n-1

 

 

 

 

a1=2 , an+1=3an    …②

 

数列{an}は,初項a1=2 , 公比3の等比数列だから,

an=2・3n-1

 

 

 

 

a1=2 , an+1=an+2n+1   …③

 

数列{an}の階差数列{bn}の一般項は2n+1だから,

n≧2のとき,

an=a1+∑[k=1,n-1]bk

  =2+∑[k=1,n-1](2k+1)

  =2+2・n(n-1)/2+(n-1)

  =n2+1

n=1のとき,a1=12+1=2より成り立つ.

よって,an=n2+1

 

 

 

 

a1=2 , an+1=2an-3   …④

 

特性方程式x=2x-3から,x=3

an+1-3=2(an-3)

bn=an-3とおくと,

b1=-1 , bn+1=2bn   …②の形

数列{bn}は,初項b1=-1,公比2の等比数列だから,

bn=-2n-1

an-3=-2n-1

an=-2n-1+3

 

 

 

 

a1=2 , an+1=3an+8n-2   …⑤

 

an+1+α(n+1)+β=3(an+αn+β)とおくと,

an+1=3an+2αn+(-α+2β)

係数を比較すると,

8=2α,-2=-α+2βより,

α=4,β=1

an+1+4(n+1)+1=3(an+4n+1)

bn=an+4n+1とおくと,

b1=7,bn+1=3bn   …②の形

数列{bn}は,初項b1=7,公差3の等差数列だから,

bn=7・3n-1

an+4n+1=7・3n-1

an=7・3n-1-4n-1

 

 

 

 

a1=2 , an+1=2an+4・3n   …⑥

 

両辺を3n+1で割ると,

an+1/3n+1=(2an+4・3n)/3n+1

        =2/3・an/3n+4/3

bn=an/3nとおくと,

b1=2/3 , bn+1=2/3bn+4/3   …④の形

特性方程式x=2/3x+4/3から,x=4

bn+1-4=2/3(bn-4)

cn=bn-4とおくと,

c1=-10/3 , cn+1=2/3cn   …②の形

数列{cn}は,初項c1=-10/3,公比2/3の等比数列だから,

cn=-10/3(2/3)n-1

bn-4=-(5・2n)/3n

bn=-(5・2n)/3n+4

an/3n=-(5・2n)/3n+4

an=4・3n-5・2n

 

 

 

 

a1=2 , an+1=2an/(3an+4)   …⑦

 

a1=2と漸化式よりすべてのnにおいてan≠0

逆数をとると,

1/an+1=(3an+4)/2an

     =2・1/an+3/2

bn=1/anとおくと,

b1=1/2 , bn+1=2bn+3/2   …④の形

特性方程式x=2x+3/2から,x=-3/2

bn+1+3/2=2(bn+3/2)

cn=bn+3/2とおくと,

c1=2 , cn+1=2cn   …②の形

数列{cn}は,初項c1=2,公比2の等比数列だから,

cn=2・2n-1

  =2n

bn+3/2=2n

bn=2n-3/2

  =(2n-1-3)/2

1/an=(2n-1-3)/2

an=2/(2n-1-3)

 

 

 

 

a1=2 , a2=8 , an+2-5an+1+6an=0   …⑧

 

特性方程式x2-5x+6=0から,x=2,3

an+2-2an+1=3(an+1-2an)

bn=an+1-2anとおくと,

b1=4 , bn+1=3bn   …②の形

数列{bn}は,初項b1=4,公比3の等比数列なので,

bn=4・3n-1

an+1-2an=4・3n-1   …()

an+2-3an+1=2(an+1-3an)

cn=an+1-3anとおくと,

c1=2 , cn+1=2cn   …②の形

数列{cn}は,初項b1=2,公差2の等比数列だから,

cn=2・2n-1

   =2n

an+1-3an=2n   …()

() - ()より,an=4・3n-1-2n

 

 

 

 

a1=2 , a2=8 , an+2-6an+1+9an=0   …⑨

 

特性方程式x2-6x+9=0から,x=3

an+2-3an+1=3(an+1-3an)

bn=an+1-3anとおくと,

b1=2 , bn+1=3bn   …②の形

数列{bn}は,初項b1=2,公比3の等比数列だから,

bn=2・3n-1

an+1-3an=2・3n-1

an+1=3an+2・3n-1   …⑥の形

両辺3n+1で割ると,

an+1/3n+1=(3an+2・3n-1)/3n+1

        =an/3n+2/9

cn=an/3nとおくと,

c1=2/3 , cn+1=cn+2/9   …①の形

数列{cn}は,初項c1=2/3,公差2/9の等差数列だから,

cn=2/3+2/9(n-1)

  =2/9n+4/9

an/3n=2/9n+4/9

an=(2/9n+4/9)3n

   =(2n+4)3n-2

 

 

 

 

Sn=3n2+4n+2

 

n≧2のとき

an=Sn-Sn-1

  =(3n2+4n+2)-{3(n-1)2+4(n-1)+2}

  =6n+1

n=1のとき,a1=S1より,a1=3+4+2=9

よって,一般項anは,

an=9      (n=1)

an=6n+1   (n≧2)

 

 

 

 

Sn=3/2an-2n

 

n=1のとき,S1=3/2a1-2・1

また,a1=S1より,a1=3/2a1-2

よってa1=4

n=k , k+1のとき,

Sk=3/2ak+2k , Sk+1=3/2ak+1-2(k+1)

ak+1=Sk+1-Skより,

ak+1={3/2ak+1-2(k+1)}-(3/2ak+2k)

であるから,ak+1=3ak+4   …④の形

特性方程式x=3x+4から,x=-2

ak+1+2=3(ak+2)

bk=ak+2とおくと,

b1=6 , bk+1=3bk   …②の形

数列{bn}は,初項b1=6,公比3の等比数列だから,

bn=6・3n-1

  =2・3n

an+2=2・3n

an=2・3n-2


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EDIT  |  10:36 |  日記  | TB(0)  | CM(2) | Top↑

はじめまして^^

fc2から来ました(*´∀`)

数学チンプンカンプンです♪

ご挨拶代わりにランクリ応援ですぅ
773 | 2008.05.18(日) 08:41 | URL | コメント編集

またまたお久し振り-っす☆

ざんかしきやったなあ^^^^

てゆかもうこの日記見ただけで頭痛くなってきたよ!!!

うちは今年から私立文系コースなんで
数学ないんよね-(;ω;)
ちょっと数字が恋しいです笑
凛 | 2008.05.18(日) 22:40 | URL | コメント編集

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